Question

4．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函數(shù)f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$的最小值．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對函數(shù)解析式化簡整理，然后利用基本不等式求得函數(shù)的最小值．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanx＞0，
∴f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$=$\frac{8si{n}^{2}x+2co{s}^{2}x}{2sinxcosx}$=$\frac{4sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$=4tanx+$\sqrt{\frac{1}{tanx}}$≥2$\sqrt{4tanx•\frac{1}{tanx}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)tanx=$\frac{1}{2}$時取等號，
∴f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$的最小值為4．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，二倍角化簡求值，基本不等式的求最值．考查了基礎(chǔ)知識的綜合運用．