Question

17．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+2}}$是奇函數(shù)．
（1）求f（x）；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不必證明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（0）=0，求出b的值1即可；
（2）化簡(jiǎn)f（x），判斷f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）利用f（x）的單調(diào)性與奇偶性，化簡(jiǎn)不等式并求出解集．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即$\frac{-1+b}{2+2}$=0，解得b=1；
從而有$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}$；…（2分）
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
由y=2^x的單調(diào)性可推知f（x）在R上為減函數(shù)； …（6分）
（3）因?yàn)閒（x）在R上為減函數(shù)且是奇函數(shù)，從而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等價(jià)于f（1+|x|）＜-f（x），
即f（1+|x|）＜f（-x）； …（7分）
又因f（x）是R上的減函數(shù)，
由上式推得1+|x|＞-x，…（8分）
解得x∈R．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．