Question

7．（1）關(guān)于x的方程x²+2a|x|+4a²-3=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）關(guān)于x的方程x²+2a|x|+4a²-3=0在[-1，1]上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²+2a|x|+4a²-3，則f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知x=0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，從而得出a，再進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）令f（x）=x²+2a|x|+4a²-3，對(duì)a進(jìn)行討論，得出f（x）的單調(diào)性，利用零點(diǎn)的存在性定理列出不等式解出a的范圍．

解答 解：（1）令f（x）=x²+2a|x|+4a²-3，則f（x）為偶函數(shù)，
∵f（x）=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴f（0）=0，
即4a²-3=0，解得a=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，f（x）=x²+$\sqrt{3}$|x|≥0，此時(shí)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=0，不符合題意，
當(dāng)a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，f（x）=x²-$\sqrt{3}$|x|，此時(shí)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，x=0，x=$\sqrt{3}$，x=-$\sqrt{3}$，符合題意，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）設(shè)f（x）=x²+2a|x|+4a²-3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+4{a}^{2}-3，x≥0}\\{{x}^{2}-2ax+4{a}^{2}-3，x＜0}\end{array}\right.$．
顯然f（x）是偶函數(shù)．
①若a≥0，則f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）在[-1，1]上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-3＜0}\\{4{a}^{2}+2a-2≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤a＜\frac{\sqrt{3}}{2}$．
②若a＜0，則f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，在[a，0）上單調(diào)遞增，
在[0，-a）上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f（0）=4a²-3，f（a）=f（-a）=3a²-3，f（1）=4a²+2a-2，
且f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-3＞0}\\{4{a}^{2}+2a-2≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-3＜0}\\{4{a}^{2}+2a-2≥0}\end{array}\right.$．
解得-1$≤a＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
綜上，a的取值范圍是[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)的單調(diào)性判斷，屬于中檔題．