Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）為正弦型函數(shù)，由此求出（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T；（2）函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x
=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$+2•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
此時(shí)sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最大值1，對(duì)應(yīng)函數(shù)f（x）取得最大值為1+1=2；
令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
此時(shí)sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，對(duì)應(yīng)函數(shù)f（x）取得最小值為1-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．