Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=

x

x2+1

（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間[-1，0]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）0，-1帶入解析式即可求得f（0），f（-1）；
（2）設(shè)x∈（0，1]，-x∈[-1，0），根據(jù)f（x）是偶函數(shù)便可求出f（x），然后分兩段寫出函數(shù)f（x）解析式即可；
（3）求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得出f（x）在[-1，0]上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）f（0）=0，f（-1）=-

1

2

；
（2）設(shè)x∈（0，1]，-x∈[-1，0）；
∵f（x）在[-1，1]上為偶函數(shù)；
∴f(-x)=

-x

x2+1

=f(x)；
∴f(x)=

x x2+1 x∈[-1，0] - x x2+1 x∈(0，1]

；
（3）x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=

x

x2+1

，f′（x）=

1-x2

(x2+1)2

；
∵x∈[-1，0]；
∴1-x²≥0；
∴f′（x）≥0；
∴f（x）在[-1，0]上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法與過程，分段函數(shù)的概念及表示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．