Question

已知函數f（x）=

( 1 2 )x-2  ，x≤0 x2-2x  ，x＞0

，
（1）在給出的平面直角坐標系中作出函數y=f（x）的圖象；
（2）根據圖象，寫出該函數的單調區(qū)間；
（3）若集合A={x∈R|f（x）=a}中恰有三個元素，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據分段函數的解析式，分段畫出函數圖象即可；
（2）根據函數圖象，從左向右呈“上升”趨勢的為單調遞增，呈“下降”趨勢的即為單調遞減，從而可得答案；
（3）根據題意，即求f（x）=a有三個不同的根，利用數形結合法，即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

( 1 2 )x-2  ，x≤0 x2-2x  ，x＞0

，
故在直角坐標系中作出圖象如右圖所示；
（2）由（1）所作出的圖象可知，
從左向右呈“上升”趨勢的為單調遞增，呈“下降”趨勢的即為單調遞減，
故f（x）的單調區(qū)間為（-∞，0），（0，1），（1，+∞）；
（3）集合A={x∈R|f（x）=a}中恰有三個元素，即為f（x）=a恰有三個不同的根，
故函數y=f（x）的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點，
根據圖象可知，實數a的取值范圍為-1＜a＜0，
故實數a的取值范圍為a∈（-1，0）．

點評：本題考查了分段函數的圖象，分段函數的單調性以及分段函數的應用．對于分段函數的問題，一般選用分類討論和數形結合的思想方法進行求解，根據分段函數的圖象很容易得到相關的性質，若選用分類討論的方法，則關鍵是討論需用哪段解析式進行求解．同時也考查了函數的零點問題，函數的零點等價于對應方程的根，等價于函數的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據題意合理的選擇轉化．運用了數形結合的數學思想方法．屬于中檔題．