已知函數(shù)f(x)=
x2
ax+b
(a,b為常數(shù))
,且方程f(x)-1=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=-2,x2=1
(1)求函數(shù)f(x)的解析式
(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式:f(x)<
(k+1)x-k
2-x
考點(diǎn):其他不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)利用方程f(x)-1=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=-2,x2=1,則列出關(guān)于a和b的方程組,求解即可得到a和b的值,從而得到f(x)的解析式;
(2)將不等式化簡(jiǎn)可得
x2-(k+1)x+k
2-x
<0
,再進(jìn)行整理可得(x-2)(x-1)(x-k)>0,根據(jù)根之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論,分別求得不等式的解集.
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=
x2
ax+b
(a,b為常數(shù))
,且方程f(x)-1=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=-2,x2=1,
∴將x1=-2,x2=1分別代入方程
x2
ax+b
-1=0

4
-2a+b
-1=0
1
a+b
-1=0
,解得
a=-1
b=2

f(x)=
x2
2-x
(x≠2)
;
(2)由(1)可知,f(x)=
x2
2-x
(x≠2)
,
∴不等式f(x)<
(k+1)x-k
2-x
即為
x2
2-x
(k+1)x-k
2-x
,
整理可得,
x2-(k+1)x+k
2-x
<0
,
即(x-2)(x-1)(x-k)>0,
①當(dāng)1<k<2時(shí),不等式的解集為(1,k)∪(2,+∞);
②當(dāng)k=2時(shí),不等式即為(x-2)2(x-1)>0,
∴不等式的解集為(1,2)∪(2,+∞);
③當(dāng)k>2時(shí),不等式的解集為(1,2)∪(k,+∞).
綜合①②③可得,當(dāng)1<k<2時(shí),不等式的解集為(1,k)∪(2,+∞),
當(dāng)k=2時(shí),不等式的解集為(1,2)∪(2,+∞),
當(dāng)k>2時(shí),不等式的解集為(1,2)∪(k,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)解析式的求解,分式不等式的解法以及高次不等式的解法.本題運(yùn)用了待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式,求函數(shù)解析式常見(jiàn)的方法有:待定系數(shù)法,換元法,湊配法,消元法等.對(duì)于分式不等式,一般是“移項(xiàng),通分”,將分式不等式轉(zhuǎn)化為各個(gè)因式的正負(fù)問(wèn)題.屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,A=120°,b=1,面積S=
3
,則
c
sinC
等于
 

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求滿足(
1
4
)x2-8
>4-2x的x的取值集合是
 

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已知直線x+y+m=0與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),
|OA
+
OB
|≥|
AB
|
,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )
A、[-2,2]
B、[2,2
2
)∪(-2
2
,-2]
C、(-2
2
,-2]
D、[2,2
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-2  ,x≤0
x2-2x  ,x>0
,
(1)在給出的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象;
(2)根據(jù)圖象,寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若集合A={x∈R|f(x)=a}中恰有三個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
,若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)證明數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}滿足:cn=
2n
an
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若?x∈[1,2],使不等式x2-mx+4>0成立,則m的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(2a+c)cosB+bcosC=0
(Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)若b=2
3
,試求
AB
BC
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若{an}是公差d≠0等差數(shù)列,{bn}是公比q≠1等比數(shù)列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
1
anan+1
}
的前n項(xiàng)和Sn;
(3)是否存在常數(shù)a,b使得對(duì)一切n∈N*都有an=logabn+b成立?若存在.求出a,b的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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