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已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線于G點，直線MB交直線于H點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求以GH為直徑的圓是否恒經過x軸上的定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由。
（Ⅰ）由題意得
.
橢圓的方程為：
（Ⅱ）記直線、的斜率分別為、，設的坐標分別為,,，.
在橢圓上，所以，，
設，則，.
，又.
.
因為的中點為，,所以，以為直徑的圓的方程為：.
令，得，
，將兩點代入檢驗恒成立.
所以，以為直徑的圓恒過軸上的定點
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，以原點為圓點，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P（4，0），A,B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交隨圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點Q；

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

直線l：與橢圓相交A，B兩點，點C是橢圓上的動點，則面積的最大值為              。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，一個焦點為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線交橢圓于，兩點，若點，都在以點為圓心的圓上，求的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知焦點在軸上橢圓的長軸的端點分別為，為橢圓的中心，為右焦點，且,離心率。
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰好為的垂心？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖橢圓的右頂點是，上下兩個頂點分別為，四邊形是矩形（為原點），點分別為線段的中點．
（Ⅰ）證明：直線與直線的交點在橢圓上；
（Ⅱ）若過點的直線交橢圓于兩點，為關于軸的對稱點（不共線），問：直線是否經過軸上一定點，如果是，求這個定點的坐標，如果不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓中心在坐標原點，焦點在軸上，且經過、、三點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓交于、兩點.
①若，求的長；
②證明：直線與直線的交點在直線上．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設點是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，為的內心，若，則該橢圓的離心率是（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是    ．

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