Question

7．如圖，△PAD為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ABCD為菱形，∠DAB=60°，E為AD的中點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABCD，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)，
（1）證明：平面PAD⊥平面BEF；
（2）若PA∥平面BEF，求三棱錐E-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可證BE⊥平面PAD，進(jìn)而可得平面PAD⊥平面BEF；
（2）連接AC，交BE于O，連接FO，PE，由已知PA∥平面BEF，可得：$\frac{CF}{PF}$=$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CB}{AE}$=2，即$\frac{CF}{PC}$=$\frac{2}{3}$，進(jìn)而求出棱錐的底面和高，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答 證明：（1）E是AD中點(diǎn)，連接PE，
∴AB=2，AE=1
∴BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²，
∴BE⊥AE，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BE?平面ABCD，
∴BE⊥平面PAD，
又∵BE?平面BEF，
∴平面PAD⊥平面BEF；
解：（2）連接AC，交BE于O，連接FO，PE，

∵PA∥平面BEF，平面PAC∩平面PEF=FO，
∴PA∥FO，
則$\frac{CF}{PF}$=$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CB}{AE}$=2，
∴$\frac{CF}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，
設(shè)F到平面ABCD的距離為h，
則h=$\frac{2}{3}$PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱錐E-BCF的體積V=$\frac{1}{3}$S_△BCEh=$\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的性質(zhì)定理，及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了線面關(guān)系與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．