Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，順次連接其四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，設(shè)斜率為k的動直線l與橢圓C在第一象限只有一個公共點P，若過原點O的直線l₁與l垂直，求點P到直線l₁的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{2ab=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，從而解得橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＜0），從而由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$可得點P（$\frac{-4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），再寫出直線l₁的方程為x+ky=0，從而化簡點P到直線l₁的距離d=$\frac{1}{\sqrt{7+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}}$，由基本不等式可得4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，從而求最大值即可．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{2ab=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＜0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消去y得，
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由天直線l與橢圓C只有一個公共點，
故△=0，化簡得3-m²+4k²=0，
解得點P（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
又點P在第一象限，故點P（$\frac{-4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），
∵過原點O的直線l₁與l垂直，
∴直線l₁的方程為x+ky=0，
∴點P到直線l₁的距離d=$\frac{|\frac{-4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}+\frac{3k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{7+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}}$，
∵4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)k²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，等號成立），
∴$\frac{1}{\sqrt{7+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}}$≤$\frac{1}{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故點P到直線l₁的距離的最大值為2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的化簡運算的能力，屬于難題．