Question

13．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=2log₂（a_n+1-n），求{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=a_n+2ⁿ+1變形可知a_n+1-2ⁿ⁺¹=a_n-2ⁿ+1，進而數(shù)列{a_n-2ⁿ}是以0為首項、1為公差的等差數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n-2ⁿ=n-1，進而a_n+1-n=2ⁿ，利用對數(shù)的性質計算即得結論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=a_n+2ⁿ+1，
∴a_n+1-2ⁿ⁺¹=a_n-2ⁿ+1，
又∵a₁-2¹=2-2=0，
∴數(shù)列{a_n-2ⁿ}是以0為首項、1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n-2ⁿ=n-1，
∴a_n+1-n=2ⁿ，
∴b_n=2log₂（a_n+1-n）
=2log₂2ⁿ
=2n．

點評 本題考查數(shù)列的通項，涉及對數(shù)的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．