Question

18．已知x，y為實(shí)數(shù)，且（x+y）（x-2y）=1，則2x²+y²的最小值為$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 換元，利用基本不等式，即可求出2x²+y²的最小值．

解答 解：設(shè)m=x+y，n=x-2y，則x=$\frac{1}{3}$（2m+n），y=$\frac{1}{3}$（m-n），mn=1，
∴2x²+y²=2[$\frac{1}{3}$（2m+n）]²+[$\frac{1}{3}$（m-n）]²=m²+$\frac{1}{3}$n²+$\frac{2}{3}$≥2$\sqrt{{m}^{2}×\frac{1}{3}{n}^{2}}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1），
當(dāng)且僅當(dāng)m²=$\frac{1}{3}$n²時(shí)，取等號(hào)，
∴2x²+y²的最小值為$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）．
故答案為：$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求2x²+y²的最小值，考查基本不等式的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．