Question

各項均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+3S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=

1

3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若b_n=

1 ，(n=1) 1 3(1-n)an ，(n≥2)

，設(shè)T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＞m對n≥2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出{

1

Sn

}是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，從而得到

1

Sn

=3n，進而得到Sn=

1

3n

．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）由b₁=1，bn=

1

3(1-n)an

=n，n≥2，得T_n=

1

1+n

+

1

2+n

+…+

1

n+n

，由此推導(dǎo)出{T_n}是單調(diào)遞增函數(shù)，從而求出(Tn)min=T2=

1

1+2

+

1

2+2

=

7

12

，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，由a_n+3S_nS_n-1=0，
得S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=3(n≥2)…（2分）
又a₁=

1

3

，∴

1

S1

=3，
∴{

1

Sn

}是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=3+3（n-1）=3n，∴Sn=

1

3n

．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

3n

-

1

3n-3

=

1

3n(1-n)

，
∴an=

1 3 ，n=1 1 3n(1-n) ，n≥2

．
（2）∵b_n=

1 ，(n=1) 1 3(1-n)an ，(n≥2)

，
∴b₁=1，bn=

1

3(1-n)an

=n，n≥2，
∴T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+…+

1

n+n

，
Tn+1=

1

1+n+1

+

1

2+n+1

+…+

1

n-1+n+1

+

1

n+n+1

+

1

n+1+n+1

，
∴Tn+1-Tn=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴{T_n}是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴(Tn)min=T2=

1

1+2

+

1

2+2

=

7

12

，
∵T_n＞m對n≥2恒成立，∴m＜

7

12

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的單調(diào)性的合理運用．