Question

等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁=2，公差不為0，且a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且T_n=a_n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=2^n-1（b_n-1），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列性質(zhì)，求出公差，由此能求出a_n=n+1，再由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且T_n=a_n²=（n+1）²，能求出bn=

4，n=1 2n+1，n≥2

．
（2）由c_n=2^n-1（b_n-1），能求出S₁=3；n≥2時(shí)，c_n=2^n-1（b_n-1）=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁=2，公差不為0，且a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列，
∴（2+2d）²=2（2+6d），
解得d=1，或d=0（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且T_n=a_n²=（n+1）²，
∴b1=(1+1)2=4，
b_n=T_n-T_n-1=（n+1）²-n²=2n+1，
n=1時(shí)，2n+1=3≠b₁，
∴bn=

4，n=1 2n+1，n≥2

．
（2）∵c_n=2^n-1（b_n-1），
∴c₁=2⁰•（4-1）=3，S₁=3；
n≥2時(shí)，c_n=2^n-1（b_n-1）=n•2ⁿ，
Sn=3+2•22+3•23+…+n•2n，①
2S_n=6+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=-3+8+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=5+

8(1-2n-2)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-3，
∴Sn=(n-1)•2n+1+3．
n=1時(shí)也成立，
∴Sn=(n-1)•2n+1+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．