【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0對(duì)任意x∈[e,e2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(e為自然常數(shù));
(3)求證ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*)(n!=1×2×3×…×n).

【答案】
(1)解:f′(x)= (x>0),

當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],單調(diào)減區(qū)間為[1,+∞);

當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1];


(2)解:令F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,則F′(x)= ,

若﹣a≤e,即a≥﹣e,

F(x)在[e,e2]上是增函數(shù),

F(x)max=F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,

a≤ ,無(wú)解.

若e<﹣a≤e2,即﹣e2≤a<﹣e,

F(x)在[e,﹣a]上是減函數(shù);在[﹣a,e2]上是增函數(shù),

F(e)=a+1≤0,即a≤﹣1.

F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,即a≤ ,

∴﹣e2≤a≤

若﹣a>e2,即a<﹣e2

F(x)在[e,e2]上是減函數(shù),

F(x)max=F(e)=a+1≤0,即a≤﹣1,

∴a<﹣e2,

綜上所述,a≤


(3)解:證明:令a=﹣1,此時(shí)f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以f(1)=﹣2,

由(1)知f(x)=﹣lnx+x﹣3在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>f(1),即﹣lnx+x﹣1>0,

∴l(xiāng)nx<x﹣1對(duì)一切x∈(1,+∞)成立,

∵n≥2,n∈N*,則有l(wèi)n( +1)< = ,

要證ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*),

只需證ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1)<1(n≥2,n∈N*);

ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1)

<(1﹣ )+( )+…+( )=1﹣ <1;

所以原不等式成立


【解析】(1)求導(dǎo)f′(x)= (x>0),從而判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)令F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,從而求導(dǎo)F′(x)= ,再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論確定函數(shù)的單調(diào)性,從而求函數(shù)的最大值,從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題即可;(3)令a=﹣1,此時(shí)f(x)=﹣lnx+x﹣3,從而可得f(1)=﹣2,且f(x)=﹣lnx+x﹣3在(1,+∞)上單調(diào)遞增,從而可得﹣lnx+x﹣1>0,即lnx<x﹣1對(duì)一切x∈(1,+∞)成立,從而可得若n≥2,n∈N* , 則有l(wèi)n( +1)< = ,從而化ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*)為ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1)<1(n≥2,n∈N*);從而證明.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)不等式的證明的理解,了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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