Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的極大值為7，；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值．求：
（1）a，b，c的值；
（2）函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)的最大．小值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值，所以把x=-1和3代入導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)都等于0，就可得到關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等式，再根據(jù)極大值等于7，又得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式，三個(gè)等式聯(lián)立，即可求出a，b，c的值．
（2）先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f′（x）=3x²+2ax+b
而x=-1和x=3是極值點(diǎn)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b=0}\\{f′（3）=27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2，
∴a=-3，b=-9，c=2；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²-9x+2，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴函數(shù)f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，0]遞減，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（-1）=7，
而f（-2）=-12，f（0）=2，
∴f（x）_最小值=f（-2）=-12．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用，做題時(shí)要細(xì)心．理解極值與導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題，常見題型．