Question

20．已知函數(shù)f（x）=x⁴-3x²+6，
（1）求f（x）的極值；
（2）當x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，求函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值；
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）單調(diào)遞增，在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，即可求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）f（x）=x⁴-3x²+6，
∴f′（x）=4x³-6x，
令f′（x）=0，解得x=0，或x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，或x=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
當f′（x）＞0，解得-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x＜0，或x＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，解得x＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，或0＜x＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴當x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，函數(shù)有極小值，極小值為f（±$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\frac{15}{4}$，
當x=0時，函數(shù)有極大值；極大值為f（0）=6．
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）單調(diào)遞增，在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴當x=0時，函數(shù)有極大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（0）=6．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)恩對極值最值的關(guān)系，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．