Question

11．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-1≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，則$\frac{x+y}{x}$的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 ①畫可行域②明確目標(biāo)函數(shù)幾何意義，目標(biāo)函數(shù)表示動點P（x，y）與定點O（0，0）連線斜率k再加1，③過O做直線與可行域相交可計算出直線PO斜率，從而得出所求目標(biāo)函數(shù)范圍．

解答 解：先畫出可行域如圖：
因為目標(biāo)函數(shù)表示動點P（x，y）與定點O（0，0）連線斜率k再加1；
由圖可知；
K_OB最小，K_OA最大；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$可得A（1，3）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$可得B（3，1）．
故：K_OB=$\frac{1-0}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，K_OA=$\frac{3-0}{1-0}$=3，
∴$\frac{1}{3}$≤K_OP≤3，
所以：$\frac{x+y}{x}$=1+k∈[$\frac{4}{3}$，4]．
故答案為：[$\frac{4}{3}$，4]．

點評 本題考查線性規(guī)劃問題，難點在于目標(biāo)函數(shù)幾何意義，近年來高考線性規(guī)劃問題高考數(shù)學(xué)考試的熱點，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一，是連接代數(shù)和幾何的重要方法．隨著要求數(shù)學(xué)知識從書本到實際生活的呼聲不斷升高，線性規(guī)劃這一類新型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題要引起重視．