Question

17．正四棱柱的體積為8，則該正四棱柱外接球體積的最小值為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． 12π
• D． 12$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 通過(guò)正四棱柱的對(duì)角線就是外接球的直徑，求出直徑的最小值即可求出球的體積．

解答 解：設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則a²h=8．
∵正四棱柱的體對(duì)角線即為球的直徑，∴2r═$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+{h}^{2}}$≥$\sqrt{3\root{3}{{a}^{4}{h}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$
∴r的最小值為$\sqrt{3}$，
故該正四棱柱外接球體積的最小值為V=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{3}$）³=4$\sqrt{3}$π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查球的內(nèi)接體的特征與球的關(guān)系，考查計(jì)算能力、空間想象能力．