Question

18．根據(jù)定積分的性質(zhì)和幾何意義，$\int_0^1$[$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$-x]dx=$\frac{π-2}{4}$．

Answer 1

分析 首先利用定積分的可加性將所求寫成兩個定積分的差的形式，然后分別按照幾何意義和求原函數(shù)的方法求定積分．

解答 解：已知$\int_0^1$[$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$-x]dx=${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$-${∫}_{0}^{1}xdx$，
定積分${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$表示以（1，0）為圓心，1為半徑的$\frac{1}{4}$圓，所以${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$=$\frac{1}{4}π$，
${∫}_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}{x}^{2}{|}_{0}^{1}=\frac{1}{2}$，
所以所求定積分為$\frac{π-2}{4}$；
故答案為：$\frac{π-2}{4}$．

點評 本題考查了定積分的可加性以及利用幾何意義求定積分．