Question

8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤1}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則ω=$\frac{4x+2y-16}{x-3}$的取值范圍是[5，6]．

Answer 1

分析 根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合直線斜率的幾何意義，求出斜率的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：ω=$\frac{4x+2y-16}{x-3}$=$\frac{4（x-3）+2y-4}{x-3}$=4+2×$\frac{y-2}{x-3}$，
設(shè)k=$\frac{y-2}{x-3}$，
則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（3，2）的斜率，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象得AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（0，$\frac{1}{2}$），B（1，0），
此時(shí)k_AD=$\frac{\frac{1}{2}-2}{0-3}$=$\frac{1}{2}$，此時(shí)ω最小為ω=4$+2×\frac{1}{2}$=4+1=5，
時(shí)k_BD=$\frac{0-2}{1-3}$=1，此時(shí)ω最大為ω=4+2×1=6，
故5≤ω≤6，
故答案為：[5，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．