Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇0，1]，若f（x）在[0，x^*]上單調(diào)遞增，在[x^*，1]上單調(diào)遞減，則稱x^*為函數(shù)f（x）的峰點(diǎn)，f（x）為含峰函數(shù)．（特別地，若f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增或遞減，則峰點(diǎn)為1或0）
對(duì)于不易直接求出峰點(diǎn)x^*的含峰函數(shù)，可通過做試驗(yàn)的方法給出x^*的近似值．試驗(yàn)原理為：“對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區(qū)間，此時(shí)稱x₁為近似峰點(diǎn)；若f（x₁）＜f（x₂），則（x₁，1）為含峰區(qū)間，此時(shí)稱x₂為近似峰點(diǎn)”．
我們把近似峰點(diǎn)與x^*之間可能出現(xiàn)的最大距離稱為試驗(yàn)的“預(yù)計(jì)誤差”，記為d，其值為d=max{max{x₁，x₂-x₁}，max{x₂-x₁，1-x₂}}（其中max{x，y}表示x，y中較大的數(shù)）．
（Ⅰ）若x₁=$\frac{1}{4}$，x₂=$\frac{1}{2}$．求此試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差d．
（Ⅱ）如何選取x₁、x₂，才能使這個(gè)試驗(yàn)方案的預(yù)計(jì)誤差達(dá)到最��？并證明你的結(jié)論（只證明x₁的取值即可）
（Ⅲ）選取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，可以確定含峰區(qū)間為（0，x₂）或（x₁，1）．在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可以進(jìn)一步得到一個(gè)新的預(yù)計(jì)誤差d′．分別求出當(dāng)x₁=$\frac{1}{4}$和x₁=$\frac{2}{5}$時(shí)預(yù)計(jì)誤差d′的最小值．（本問只寫結(jié)果，不必證明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知d=max{max{x₁，x₂-x₁}，max{x₂-x₁，1-x₂}}，由此能求出x₁=$\frac{1}{4}$，x₂=$\frac{1}{2}$時(shí)，此試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差．
（Ⅱ）取${x}_{1}=\frac{1}{3}，{x}_{2}=\frac{2}{3}$，此時(shí)試驗(yàn)誤差為$\frac{1}{3}$．再分兩種情況討論x₁點(diǎn)的位置，從而證明這是使試驗(yàn)誤差達(dá)到最小的試驗(yàn)設(shè)計(jì)．
（Ⅲ）當(dāng)x₁=$\frac{1}{4}$時(shí)預(yù)計(jì)誤差d′的最小值為$\frac{1}{4}$，當(dāng)x₁=$\frac{2}{5}$時(shí)預(yù)計(jì)誤差d′的最小值為$\frac{1}{5}$．

解答 解：（Ⅰ）由已知${x}_{1}=\frac{1}{4}，{x}_{2}=\frac{1}{2}$，
∴d=max{max{x₁，x₂-x₁}，max{x₂-x₁，1-x₂}}
=max{max{$\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$}，max{$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$}}
=max{$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$}
=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）取${x}_{1}=\frac{1}{3}，{x}_{2}=\frac{2}{3}$，此時(shí)試驗(yàn)誤差為$\frac{1}{3}$．
以下證明，這是使試驗(yàn)誤差達(dá)到最小的試驗(yàn)設(shè)計(jì)．
證明：分兩種情況討論x₁點(diǎn)的位置，
①當(dāng)${x}_{1}＜\frac{1}{3}$時(shí)，如圖所示，
如果$\frac{1}{3}$≤x₂$＜\frac{2}{3}$，那么d≥1-x₂＞$\frac{1}{3}$，
如果$\frac{2}{3}$≤x₂≤1，那么d≥x₂-x₁＞$\frac{1}{3}$；
②當(dāng)${x}_{1}＞\frac{1}{3}時(shí)，d≥{x}_{1}＞\frac{1}{3}$．
綜上，${x}_{1}≠\frac{1}{3}$時(shí)，d$＞\frac{1}{3}$．
同理得${x}_{1}≠\frac{2}{3}$時(shí)，$d＞\frac{1}{3}$．
∴${x}_{1}=\frac{1}{3}，{x}_{2}=\frac{2}{3}$時(shí)，試驗(yàn)的誤差蕞�。�
（Ⅲ）當(dāng)x₁=$\frac{1}{4}$時(shí)預(yù)計(jì)誤差d′的最小值為$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x₁=$\frac{2}{5}$時(shí)預(yù)計(jì)誤差d′的最小值為$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差的求法，考查使試驗(yàn)方案的預(yù)計(jì)誤差達(dá)到最小的求法與證明，考查預(yù)計(jì)誤差的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．