Question

13．求（1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵展開式中x⁸項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵=（1-x+x²）（1+x+x²）⁶，設(shè)（1+x+x²）⁶的通項(xiàng)公式為T_r+1=${∁}_{6}^{r}$（x+x²）^r（r=0，1，2，…，6）．設(shè)（x+x²）^r的通項(xiàng)公式${T}_{k+1}^{′}$=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}{x}^{2k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r+k．（k=0，1，2，…，r）．對(duì)r，k分類討論即可得出．

解答 解：（1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵=（1-x+x²）（1+x+x²）⁶，
設(shè)（1+x+x²）⁶的通項(xiàng)公式為T_r+1=${∁}_{6}^{r}$（x+x²）^r（r=0，1，2，…，6）．
設(shè)（x+x²）^r的通項(xiàng)公式${T}_{k+1}^{′}$=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}{x}^{2k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r+k．（k=0，1，2，…，r）．
可得：（1+x²+x⁴）（1+x+x²）⁵展開式中x⁸項(xiàng)的系數(shù)為：${∁}_{6}^{3}{∁}_{3}^{3}$+${∁}_{6}^{4}（{∁}_{4}^{2}-{∁}_{4}^{3}+{∁}_{4}^{4}）$+${∁}_{6}^{5}$$（{∁}_{5}^{1}-{∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}）$+${∁}_{6}^{6}（{∁}_{6}^{0}-{∁}_{6}^{1}+{∁}_{6}^{2}）$
=20+45+30+12
=107．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．