Question

15．若α∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，β∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，且滿足$\left\{\begin{array}{l}{{α}^{3}+sinα-2k=0}\\{4{β}^{3}+sinβcosβ+k=0}\end{array}\right.$，k∈R，則cos（α+2β）的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知-2β和α是方程 x³+sinx-2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，再由函數(shù)的單調(diào)性可知方程 x³+sinx-2k=0在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上只有一個(gè)解，即α=-2β，問題得以解決．

解答 解：∵4β³+sinβcosβ+k=0，
∴（-2β）³-2sinβcosβ-2k=0，即（-2β）³+sin（-2β ）-2k=0．
∵α³+sinα-2k=0，
∴-2β和α是方程 x³+sinx-2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解．
∵α∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，β∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，
∴-2β∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∵函數(shù)y=x³+sinx 在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增，
∴方程 x³+sinx-2k=0在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上只有一個(gè)解，
∴α=-2β，
∴cos（a+2β）=cos0=1，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．