Question

2．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，1）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{x}{2}，-{cos^2}\frac{x}{2}）$，設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}+\overrightarrow m•\overrightarrow n$．又在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a，b，c，$f（A）=\frac{1}{2}$．
（1）求角A的大��；
（2）若a=3，且cos（B-C）+cosA=4sin²C．求c邊的大�。�

Answer 1

分析 （1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由f（A）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍，即可得解A的值；
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得2sinBsinC=4sin²C，結(jié)合sinC≠0，可得sin B=2sin C，利用正弦定理可得b=2c，進(jìn)而由余弦定理可求c的大�。�

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，1）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{x}{2}，-{cos^2}\frac{x}{2}）$，
∴函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-{cos^2}\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$=$sin（x-\frac{π}{6}）$，…（3分）
∵f（A）=$\frac{1}{2}$，
∴$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，…（4分）
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．…．（6分）
（2）∵cos （B-C）+cos A=4sin²C．
∴cos （B-C）-cos （B+C）=4sin²C，
∴2sinB sinC=4sin²C，
∵sinC≠0，
∴sin B=2sin C，
由正弦定理可得b=2c，…（9分）
又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即 $9=4{c^2}+{c^2}-4{c^2}×\frac{1}{2}$，
∴解得 $c=\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．