Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=ax²+x+1．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)h（x）=e^x•g（x）的極值點；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a≤-1時，g（x）≤$\frac{f（x）}{x}$對?x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，令h′（x）=0，解得即可，
（Ⅱ）利用分析法，要證結(jié)論成立，只要證明a≤$\frac{-{x}^{2}-x+1}{{x}^{3}}$對于a≤-1時，對?x∈（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，m（x）=$\frac{-{x}^{2}-x+1}{{x}^{3}}$，只要求出函數(shù)的最小值為-1即可

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）=ax²+x+1，
∴h′（x）=e^x•g（x）+e^x•g′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（ax²+（2a+1）x+2）=e^x（ax+1）（x+2），
令h′（x）=0，
解得x=-$\frac{1}{a}$或x=-2，
即函數(shù)的極值點為x=-$\frac{1}{a}$或x-2；
（Ⅱ）∵f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)f′（x）＞0時，解得x＞1函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，解得0＜x＜1函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=1，
要證明：當(dāng)a≤-1時，g（x）≤$\frac{f（x）}{x}$對?x∈（0，+∞）恒成立
只要證當(dāng)a≤-1時，xg（x）≤f（x）對?x∈（0，+∞）恒成立
只要證a當(dāng)a≤-1時，x³+x²+x≤1對?x∈（0，+∞）恒成立，
只要證a≤$\frac{-{x}^{2}-x+1}{{x}^{3}}$對于a≤-1時，對?x∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)m（x）=$\frac{-{x}^{2}-x+1}{{x}^{3}}$，
則m′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{4}}$，
令m′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)m′（x）＞0時，即x＞1，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)m′（x）＜0時，即0＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴m（x）_min=m（1）=-1，
即a≤-1，
故當(dāng)a≤-1時，g（x）≤$\frac{f（x）}{x}$對?x∈（0，+∞）恒成立．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，關(guān)鍵時求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．