Question

8．對于函數(shù)f（x），若存在實數(shù)對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，且當x∈[0，1]時，g（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若當x∈[0，2]時，都有1≤g（x）≤3成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義，直接判斷求解即可．
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當x∈[1，2]時，$g（x）=\frac{4}{g（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對稱軸方程為$x=\frac{m}{2}$，通過①當$\frac{m}{2}＞1$，②當$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，③當$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，求出函數(shù)的值域，然后推出所求m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”…（2分）
因為由f（a+x）•f（a-x）=b，得16^a=b，所以存在這樣的實數(shù)對，如a=1，b=16…（5分）
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當x∈[1，2]時，$g（x）=\frac{4}{g（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對稱軸方程為$x=\frac{m}{2}$，
①當$\frac{m}{2}＞1$，即m＞2時，g（x）在[0，1]上的值域為[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，則g（x）在[0，2]上的值域為$[2，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，2]=[\frac{4}{m+1}，m+1]$，由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1≤3}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，此時無解…（11分）
②當$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，即1≤m≤2時，g（x）的值域為$[g（\frac{m}{2}），g（0）]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]$，所以則g（x）在[0，2]上的值域為$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，則由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤3}\\{m+1≤3}\end{array}}\right.$且$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，
解得1≤m≤2…（13分）
③當$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜m≤1時，g（x）的值域為$[g（\frac{m}{2}），g（1）]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]$，則g（x）在[0，2]上的值域為$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]∪[2，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$=$[m+1-\frac{m^2}{4}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤3}\end{array}}\right.$，解得$2-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤m≤1$．
綜上所述，所求m的取值范圍是$2-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤m≤2$…（16分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，新定義的應用，抽象函數(shù)以及分類討論思想的轉(zhuǎn)化思想的應用．