Question

3．已知函數(shù)y=x³在x=a_k時的切線和x軸交于a_k+1，若a₁=1，則數(shù)列{a_n}的前n項和為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n$
• B． ${（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
• C． $3-{（\frac{2}{3}）^n}$
• D． $3-\frac{2^n}{{{3^{n-1}}}}$

Answer 1

分析 通過斜率公式計算可得遞推關系，進而可得結論．

解答 解：∵函數(shù)y=x³，∴y′=3x²，
∴$\frac{{{a}_{k}}^{3}-0}{{a}_{k}-{a}_{k+1}}$=3${{a}_{k}}^{2}$，即$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k}-{a}_{k+1}}$=3，
化簡得：3a_k+1=2a_k，即$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}$=$\frac{2}{3}$，
又∵a₁=1，∴S_n=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=3-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}$，
故選：D．

點評 本題考查求數(shù)列的和，考查運算求解能力，利用斜率求出遞推關系是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．