Question

5．已知函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且f（x）=x²-x+b，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）設(shè)P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）由于函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且f（x）=x²-x+b，可得b=0．于是f（x）=x²-x，可得S_n=n²-n．利用遞推式即可得出．
（II）數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，可得b_n=n•3^2n-2=n•9^n-1．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．
（III）可得a_n=2n-2，a_3n-2=6n-6，同理可得a_2n+8=4n+14．再利用等差數(shù)列的前n項和公式可得：P_n與Q_n，作差即可比較出大小關(guān)系．

解答 解：（I）∵函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且f（x）=x²-x+b，
∴b=0．
∴f（x）=x²-x，
∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N^*），
∴S_n=n²-n．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1-1=0；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
當(dāng)n=1時，上式成立．
∴a_n=2n-2．
（II）數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，
∴2n-2+log₃n=log₃b_n，
∴b_n=n•3^2n-2=n•9^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1+2×9+3×9²+…+n•9^n-1，
9T_n=9+2×9²+3×9³+…+（n-1）×9^n-1+n•9ⁿ，
∴-8T_n=1+9+9²+…+9^n-1-n•9ⁿ=$\frac{{9}^{n}-1}{9-1}$-n•9ⁿ=$\frac{（1-8n）×{9}^{n}-1}{8}$，
∴T_n=$\frac{（8n-1）×{9}^{n}+1}{64}$．
（III）∵a_n=2n-2，
∴a_3n-2=2（3n-2）-2=6n-6．
∴數(shù)列{a_3n-2}是等差數(shù)列，首項為0，公差為6．
∴P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=$\frac{n（0+6n-6）}{2}$=3n²-3n．
同理數(shù)列{a_2n+8}是等差數(shù)列，a_2n+8=4n+14．
∴Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8=$\frac{n（18+4n+14）}{2}$=2n²+16n．
∴P_n-Q_n=（3n²-3n）-（2n²+16n）=n²-19n=n（n-19）．
∴n≤19，P_n≤Q_n；
當(dāng)n＞19時，P_n＞Q_n．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用、兩數(shù)大小比較，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．