Question

15．設F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓C上的一點P（x₀，x₀）（x₀＞0）到y(tǒng)軸的距離等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$a．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點F₂關于直線OP的對稱點為H，直線HF₁交橢圓C于Q，K兩點，當△F₂QK的面積等于$\frac{4\sqrt{6}}{5}$時，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）求得P（$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{\sqrt{5}}{5}$a），代入橢圓方程，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到離心率；
（2）可設b=t，a=2t，c=$\sqrt{3}$t，則F₂（$\sqrt{3}$t，0），直線OP的方程為y=x，求得H的坐標，直線HF₁的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，由三角形的面積公式，計算即可得到所求方程．

解答 解：（1）由題意可得x₀=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
由P（$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{\sqrt{5}}{5}$a）在橢圓上，可得
$\frac{1}{5}$+$\frac{{a}^{2}}{5^{2}}$=1，即有a=2b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）可設b=t，a=2t，c=$\sqrt{3}$t，
則F₂（$\sqrt{3}$t，0），直線OP的方程為y=x，
即有H（0，$\sqrt{3}$t），F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$t，0），
直線HF₁的方程為y=x+$\sqrt{3}$t，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1，
聯(lián)立直線方程和橢圓方程，可得
5y²-2$\sqrt{3}$ty-t²=0，
可得y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$t，y₁y₂=-$\frac{{t}^{2}}{5}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{12{t}^{2}}{25}+\frac{4{t}^{2}}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}t}{5}$，
即有△F₂QK的面積為S=${S}_{△Q{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{△K{F}_{1}{F}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}t$•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$t•$\frac{4\sqrt{2}t}{5}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$t²=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
解得t=1，即有a=2，b=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查離心率的求法，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查三角形的面積的求法，屬于中檔題．