Question

20．橢圓若橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，兩焦點與兩短軸端點正好是正方形的四個頂點，又焦點到同側(cè)長軸端點的距離為$\sqrt{2}-1$，求橢圓的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1或\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．

Answer 1

分析 由題意推出橢圓的關(guān)系，b=c，利用焦點到同側(cè)長軸端點距離為$\sqrt{2}-1$，求出a，b，即可求出橢圓的方程．

解答 解：因為橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸，兩焦點與兩短軸的端點恰好是正方形的四個頂點，
所以b=c，a=$\sqrt{2}$b，又焦點到同側(cè)長軸端點距離為$\sqrt{2}-1$，
即a-c=$\sqrt{2}-1$，即a-b=$\sqrt{2}-1$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
所以當(dāng)焦點在x軸時，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
當(dāng)焦點在y軸時，橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
故答案為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1或\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的基本性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．