Question

20．橢圓若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)與兩短軸端點(diǎn)正好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，又焦點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)的距離為$\sqrt{2}-1$，求橢圓的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1或\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．

Answer 1

分析 由題意推出橢圓的關(guān)系，b=c，利用焦點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)距離為$\sqrt{2}-1$，求出a，b，即可求出橢圓的方程．

解答 解：因?yàn)闄E圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸，兩焦點(diǎn)與兩短軸的端點(diǎn)恰好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，
所以b=c，a=$\sqrt{2}$b，又焦點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)距離為$\sqrt{2}-1$，
即a-c=$\sqrt{2}-1$，即a-b=$\sqrt{2}-1$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
所以當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
故答案為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1或\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．