Question

12．如圖，拋物線C：y²=8x的焦點為F，橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A，離心率為$\frac{1}{2}$，且F為線段OA的中點，O為坐標原點．
（1）求橢圓C₂的標準方程；
（2）過A點作直線l交C₁于B，C兩點，求△OBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點，由中點坐標公式可得a=4，再由離心率公式，可得c，由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）直線CB斜率不存在時，求出三角形的面積；直線CB斜率存在時，設(shè)直線CD方程為y=k（x-4），與拋物線聯(lián)立，然后求出三角形的面積，推出S_△OCB最小值．

解答 解：（1）拋物線C：y²=8x的焦點為F（2，0），
由題意可得A（a，0），由F為OA的中點，可得a=4，
再由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得c=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則橢圓C₂的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）當直線BC斜率不存在時，直線的方程為x=4，
B（4，-4$\sqrt{2}$），C（4，4$\sqrt{2}$），可得S_△OCB=$\frac{1}{2}$•4•8$\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$；
直線BC斜率存在時，設(shè)直線CD方程為y=k（x-4），
代入拋物線，得ky²-8y-32k=0，
y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁•y₂=-32，
S_△OCB=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•4•$\sqrt{\frac{64}{{k}^{2}}+128}$=16$\sqrt{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$＞16$\sqrt{2}$，
綜上S_△OCB最小值為16$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式，考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．