Question

20．過拋物線C：y²=8x焦點(diǎn)F的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{FQ}$，則|QF|=（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由拋物線y²=8x可得焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)直線y=k（x-2），把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式，結(jié)合直線的斜率即可得出．

解答 解：由拋物線y²=8x可得焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)直線y=k（x-2），|QF|=m．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則|PF|=x₁+2，|FQ|=x₂+2．
直線y=k（x-2）與拋物線聯(lián)立，化為k²x²-（8+4k²）x+4k²=0（k≠0）．
∵△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{8+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴|PQ|=x₁+x₂+4=$\frac{8+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$+4=5m，
過P，Q作準(zhǔn)線的垂線，過Q作PB的垂線QA，則|PA|=4m，∴|QA|=4m，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{9}{2}$+8=5m，
∴m=$\frac{5}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的焦點(diǎn)弦問題，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．