Question

3．如圖，四邊形ABCD是正方形，SA=SB=SC=SD，P是棱SC上的點(diǎn)，M，N分別是棱SB，SD上的點(diǎn)，SP：PC=1：2，SN：ND=2：1，SM：MB=2：1
求證：SA∥平面PMN．

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)G，取SC的中點(diǎn)H，連接BH、DH、GH，由已知條件推導(dǎo)出面HBD‖面PMN，再由中位線定理得到SA‖GH，由此能證明SA‖面PMN．

解答 證明：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)G，取SC的中點(diǎn)H，連接BH、DH、GH，
∵SP：PC=1：2，H是SC中點(diǎn)，
∴$\frac{SP}{PH}=\frac{SM}{MB}=\frac{SN}{ND}=2$，
∴PM∥HB，PN∥HD，
∵PM∩PN=P，HB∩HD=H，
PM?平面PMN，PN?平面PMN，HB?平面HBD，HD?平面HBD，
∴平面HBD‖平面PMN
∵四邊形ABCD是正方形∴G是AC的中點(diǎn)，∴SA‖GH，
∵SA?平面BDH，GH?平面BDH，
∴SA∥平面BDH，又∵SA?平面PMN，
∴SA‖面PMN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，將平面進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，