Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．
（1）求證：AP∥平面MBD；
（2）若AD=PD，求直線PB與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接OM．利用三角形中位線定理可得：AP∥OM，再利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得：∠PBD為直線PB與平面ABCD所成角．在Rt△PBD中，tan∠PBD=$\frac{PD}{BD}$，即可得出．

解答 （1）證明：連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接OM．
則點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，又M為PC中點(diǎn)．
∴AP∥OM，
又AP?平面MBD，OM?平面MBD，
∴AP∥平面MBD．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD為直線PB與平面ABCD所成角．
不妨設(shè)AB=1，
則PD=1，BD=$\sqrt{2}$．
在Rt△PBD中，tan∠PBD=$\frac{PD}{BD}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線PB與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．