Question

18．某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示：

	A	B	C
甲	4	8	3
乙	5	5	10

現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元、分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．
（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，求出此最大利潤．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)原料的噸數(shù)列出不等式組，作出平面區(qū)域；
（2）令利潤z=2x+3y，則y=-$\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，結(jié)合可行域找出最優(yōu)解的位置，列方程組解出最優(yōu)解．

解答 解：（1）x，y滿足的條件關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{4x+5y≤200}\\{8x+5y≤360}\\{3x+10y≤300}\\{x∈N}\\{y∈N}\end{array}\right.$．
作出平面區(qū)域如圖所示：

（2）設(shè)利潤為z萬元，則z=2x+3y．
∴y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$．
∴當(dāng)直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，截距$\frac{z}{3}$最大，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{4x+5y=200}\\{3x+10y=300}\end{array}\right.$得B（20，24）．
∴z的最大值為2×20+3×24=112．
答：當(dāng)生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時(shí)，利潤最大，最大利潤為112萬元．

點(diǎn)評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，抽象概括能力和計(jì)算求解能力，屬于中檔題．