Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，且a₅=6．
（1）若d∈N^*，其數(shù)列{a_n}中任意連續(xù)兩項(xiàng)的和仍為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，求d的值；
（2）若a₃＞1，且自然數(shù)n₁，n₂，…，n_t，…（t∈N^*）滿(mǎn)足5＜n₁＜n₂＜…＜n₂＜…，使得a₃，a₅，a_n1，…，a_nt，…成等比數(shù)列，求a₃的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，假設(shè)任意連續(xù)兩項(xiàng)的和a_n+a_n+1，進(jìn)行比較即可得到結(jié)論．
（2）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a₅=6，所以a_m=a₃+（m_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$（ m_t＞5，m_t∈N^*），又a_m=a₃（$\frac{6}{a3}$）^t+1，由此能夠求出a₃的一切可能值．

解答 解：（1）a₅=6，
a_n=a₅+d（n-5）=6+d（n-5）
任意連續(xù)兩項(xiàng)的和a_n+a_n+1=12+d（n-5+n+1-5）=12+d（2n-11）
因?yàn)閿?shù)列{a_n}中任意連續(xù)兩項(xiàng)的和仍為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，
所以a_n+a_n+1=12+d（2n-11）=6+d（m-5），
即6+d（2n-11-m+5）=6+d（2n-m-6）=0，
則m=$\frac{6}0wwggyi$+2n-6，
則因此d須為6的因數(shù)，因此只可能有d=1，2，3，6
但同時(shí)須有$\frac{6}umoy0gw$+2n-6＞0，
若d=1，則不等式等價(jià)為6+2n-6=2n＞0，成立，
若d=2，則不等式等價(jià)為3+2n-6=2n-3＞0，當(dāng)n=1時(shí)不成立，
若d=3，則不等式等價(jià)為2+2n-6=2n-4＞0，當(dāng)n=1，2時(shí)不成立，
若d=6，則不等式等價(jià)為1+2n-6=2n-5＞0，當(dāng)n=1，2時(shí)不成立，
因此只能取d=1．
（2）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a₅=6，
所以a_n=a₃+（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$（ n_t＞5，n_t∈N*）
又a_n=a₃（$\frac{6}{a3}$）^t+1，
故a₃（$\frac{6}{a3}$）^t+1=a₃+（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$，
即$\frac{6t+1-a3t+1}{a3t}$=（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$，
故$\frac{（6-a3）（6t+6t-1a3+…+6a3t-1+a3t）}{a3t}$=（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$．
由a₃≠a₅，所以a₃≠6．
n_t=5+2[（$\frac{6}{a3}$）^t+（$\frac{6}{a3}$）^t-1+…+（$\frac{6}{a3}$）]，t∈N*．
當(dāng)t=1時(shí)，n₁=5+2×$\frac{6}{a3}$=5+$\frac{12}{a3}$．
由n₁∈N*，且a₃＞1，
則$\frac{12}{a3}$=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．
當(dāng)t=2時(shí)，m₂=5+2×[（$\frac{6}{a3}$）²+$\frac{6}{a3}$]，
所以$\frac{12}{a3}$為奇數(shù)時(shí)，n₂不為整數(shù)，不符合．
所以，$\frac{12}{a3}$=2，4，6，8，10．從而a₃=6，3，2，$\frac{3}{2}$，$\frac{6}{5}$，
又因?yàn)閿?shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，且a₃≠6．
所以a₃=3，2，$\frac{3}{2}$，$\frac{6}{5}$．經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高．解題時(shí)認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．