Question

6．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦 點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5．過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M．
（1）求拋物線方程．
（2）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K（m，0）是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線方程．
（2）分類討論，結合圓心M（0，2）到直線AK的距離，即可討論直線AK與圓M的位置關系．

解答 解：（1）因為A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，
所以4+$\frac{p}{2}$=5，
所以p=2，
所以拋物線方程為：y²=4x…（2分）
（2）由題意得，圓M的圓心是點（0，2），半徑為2．
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離，…（10分）
當m≠4時，直線AK的方程為$y=\frac{4}{4-m}（x-m）$即為4x-（4-m）y-4m=0
圓心M（0，2）到直線AK的距離$d=\frac{{\left|{2m+8\left.{\;}\right|}\right.}}{{\sqrt{16+{{（m-4）}^2}}}}$，令d＞2，得m＞1…（12分）
故當m＞1時，直線AK與圓M相離；當m=1時，直線AK與圓M相切；當m＜1時，直線AK與圓M相交．…（14分）

點評 本題考查拋物線的定義，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力．