Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊為a，b，c，

m

=（2cos

C

2

，-sinC），

n

=（cos

C

2

，2sinC）且

m

⊥

n

．
（1）求∠C；
（2）若a²=b²+

1

2

c²，試求sin（A-B）的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直時滿足的條件列出關(guān)系式，整理求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）已知等式利用正弦定理化簡，將sinC的值代入得到cos2B-cos2A=

3

4

，變形后即可確定出sin（A-B）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cos

C

2

，-sinC），

n

=（cos

C

2

，2sinC）且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即2cos²

C

2

-2sin²C=0，
整理得：2cos²C+cosC-1=0，即（2cosC-1）（cosC+1）=0，
解得：cosC=

1

2

或cosC=-1（舍去），
則∠C=60°；
（2）已知等式a²=b²+

1

2

c²，利用正弦定理化簡得：sin²A=sin²B+

1

2

sin²C=sin²B+

3

8

，
整理得：

1-cos2A

2

=

1-cos2B

2

+

3

8

，即cos2B-cos2A=

3

4

，
即cos2B-cos2A=cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]
=cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B）-[cos（A+B）cos（A-B）-sin（A+B）sin（A-B）]
=2sin（A+B）sin（A-B）=2sinCsin（A-B）=

3

sin（A-B）=

3

4

，
則sin（A-B）=

3

4

．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．