Question

【題目】已知函數(shù) ，數(shù)列{an}滿足 ．
（1）求證：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 ， 求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵函數(shù) ，數(shù)列{an}滿足 ，

∴ ，

∴ =3+ ，

∴ =3， =1，

∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列

（2）解：∵數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，

∴ =1+（n﹣1）×3=3n﹣2，

∴an= ．

（3）解：∵anan+1= = （ ），

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

= （1﹣ + + +…+ ）

=

= ．

【解析】（1）由已知利用函數(shù)性質(zhì)得 ，從而 =3+ ，由此能證明數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．（2）由 =1+（n﹣1）×3=3n﹣2，能求出an ． （3）anan+1= = （ ），利用裂項(xiàng)求和法能求出Sn ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．