【題目】已知直線l1:mx﹣y=0,l2:x+my﹣m﹣2=0.
(1)求證:對m∈R,l1與l2的交點P在一個定圓上;
(2)若l1與定圓的另一個交點為P1 , l2與定圓的另一個交點為P2 , 求當m在實數(shù)范圍內(nèi)取值時,△PP1P2的面積的最大值及對應的m.

【答案】
(1)解:如圖所示:l1:﹣y=0,過定點(0,0), =m;

l2:x+my﹣m﹣2=0,m(y﹣1)+x﹣2=0, =﹣

令y﹣1=0,x﹣2=0.得y=1,x=2,∴過定點(2,1),

=﹣1,∴直線與直線互相垂直,

∴直線與直線的交點必在以(0,0),(2,1)為一條直徑端點的圓上,且圓心(1, ),半徑r= = ,

∴圓的方程為(x﹣1)2+(y﹣ 2=

即x2+y2﹣2x﹣y=0;


(2)解:由(1)得:(0,0),(2,1).當P點在定圓上移動時,△PP1P2的底邊P1P2為定值2r.當三角形的高最大時,△PP1P2的面積最大.

故三角形面積最大為 2rr=

又與圓的交點為P( , ),且OP與P1P2的夾角是45°.

∴|OP|= = ,即 + = ,解得:m=3或m=

故當m=3或m= 時,△PP1P2的面積取得最大值


【析】(1)聯(lián)立兩條直線方程,消去m,即得到l1和l2的交點M的方程,判斷對m∈R,l1與l2的交點P在一個定圓上;(2)由(1)得:(0,0),(2,1).當P點在定圓上移動時,△PP1P2的底邊P1P2為定值2r.當三角形的高最大時,△PP1P2的面積最大.

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