Question

設(shè)y=f（x）由方程y-x=e^x（1-y）所確定，求

lim

n→∞

n[f（

1

n

）-1]．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)y=f（x）滿足方程y-x=e^x（1-y），求出y=f（0）的值，再對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，求出f′（0）的值；利用洛必塔法則計(jì)算

lim

n→∞

n[f（

1

n

）-1]即可．

解答： 解：∵y=f（x）滿足方程y-x=e^x（1-y），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=f（0）=e⁰=1；
對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得；
f′（x）-1=e^x（1-y）•（1-y-xf′（x）），
當(dāng)x=0時(shí)，f′（0）=1•（1-1-0）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，∵n→+∞時(shí)，

1

n

→0，
∴f（

1

n

）=1，∴f（

1

n

）-1=0，
∴可運(yùn)用洛必塔法則計(jì)算

lim

n→∞

n[f（

1

n

）-1]
=

lim

n→∞

f( 1 n )-1

1 n

=

lim

n→∞

-1 n2 •f′( 1 n )

-1 n2

=

lim

n→∞

f′（

1

n

）
=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)高等數(shù)列的知識(shí)，利用洛必塔法進(jìn)行計(jì)算，是難題．