Question

已知函數f （t）=log₂（2-t）+

t-1

的定義域為D．
（Ⅰ） 求D；
（Ⅱ） 若函數g（x）=x²+2mx-m²在D上存在最小值2，求實數m的值．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,函數的定義域及其求法,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用對數的真數大于0，開偶次方被開放數非負，列出不等式組即可求出函數的定義域D；
（Ⅱ）函數g（x）=x²+2mx-m²在D上存在最小值2，通過二次函數的對稱軸，對m與對稱軸的位置關系分類討論，利用最值，即可求實數m的值．

解答： 解：（Ⅰ） 由題知

2-t＞0 t-1≥0

解得1≤t＜2，即D=[1，2）．…（3分）
（Ⅱ） g （x）=x²+2mx-m²=（x+m）²-2m²，此二次函數對稱軸為x=-m．…（4分）
①若-m≥2，即m≤-2時，g （x）在[1，2）上單調遞減，不存在最小值；
②若1＜-m＜2，即-2＜m＜-1時，g （x）在[1，-m）上單調遞減，（-m，2]上遞增，此時g(x)min=g(-m)=-2m2≠2，此時m值不存在；
③-m≤1即m≥-1時，g （x）在[1，2）上單調遞增，
此時g(x)min=g(1)=1+2m-m2=2，解得m=1．   …（11分）
綜上：m=1． …（12分）

點評：本題考查函數的定義域的求法，二次函數閉區(qū)間上的最值問題的應用，考查計算能力以及分類討論思想的應用．