Question

已知圓C經(jīng)過點A（-4，0），B（0，4），且圓心在直線y=x上，又直線l：y=kx+2與圓C相交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=-8，求實數(shù)k的值；
（Ⅲ）過點（0，2）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與圓C交于M，N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（I）設圓心C（a，a），半徑為r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，從而可求圓C的方程；
（II）利用向量的數(shù)量積公式，求得∠POQ=120°，計算圓心到直線l：kx-y+2=0的距離，即可求得實數(shù)k的值；
（III）設圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，求得d12+d2=4，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2

16-d2

，|MN|=2

16-d12

，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值．

解答： 解：（I）設圓心C（a，a），半徑為r．
因為圓經(jīng)過點A（-4，0），B（0，4），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+4)2+a2

=

a2+(a-4)2

=r
解得a=0，r=4，
所以圓C的方程是x²+y²=16．
（II）因為

OP

•

OQ

=-8，所以cos∠POQ=-

1

2

，所以∠POQ=120°，
所以圓心到直線l：kx-y+2=0的距離d=2，
又d=

2

k2+1

，所以k=0．
（III）設圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積為S．
因為直線l，l₁都經(jīng)過點（0，1），且l⊥l₁，根據(jù)勾股定理，有d12+d2=4，
又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2

16-d2

，|MN|=2

16-d12

所以S=

1

2

×2

16-d2

×2

16-d12

=2

192+d12d2

≤2

192+4

=18
當且僅當d₁=d時，等號成立，所以S的最大值為18．

點評：本題考查圓的標準方程，考查向量的數(shù)量積，考查圓的性質(zhì)，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是正確表示四邊形的面積，屬于中檔題．