Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-sin$\frac{ωx}{2}$），$\overrightarrow$=（sinωx，2sin$\frac{ωx}{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+m（ω＞0）的最小正周期為3π，且當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出函數(shù)y=f（x）的含參解析式，再由“最小正周期為3π”求出ω，“當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1”求出m，即求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）可知，求出C=$\frac{π}{2}$，聯(lián)合2sin²B=cosB+cos（A-C）求出sinA的值．

解答 解：（1）由題意得，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinωx-（-sin$\frac{ωx}{2}$）•2sin$\frac{ωx}{2}$）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
所以f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+m，
又因?yàn)樽钚≌�周期�?π，所以ω=$\frac{2π}{3π}$=$\frac{2}{3}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）+m，
又因?yàn)閤∈[0，π]即$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以f（x）_max=2+m=1，
所以m=-1，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）由（1）可知f（C）=2sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）-1=1，
所以sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）=1，
所以$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即C=$\frac{π}{2}$，
又因?yàn)?sin²B=cosB+cos（A-C），
所以2sin²（$\frac{π}{2}$-A）=cos（$\frac{π}{2}$-A）+cos（A-$\frac{π}{2}$），
所以sin²A+sinA-1=0，
所以sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
所以sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)性質(zhì)和解三角形等內(nèi)容．