Question

12．已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}}$），（n∈N^*），b_n=log₅$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}-1}}$．
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數(shù)列，并求{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{{{{log}_2}{b_{n+2}}}}{b_n}$，T_n為{c_n}的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜6．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，即可得證，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得c_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n+1}}{{2}^{n-1}}$=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得T_n，由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}}$），可得：
b_n+1=log₅$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}-1}$=log₅$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）+1}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）-1}$=log₅（$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$）²=2log₅$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$，
即有$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{2lo{g}_{5}\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}}{lo{g}_{5}\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}}$=2，
則{b_n}是首項(xiàng)為b₁=log₅$\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{1}-1}$=1，公比為2的等比數(shù)列；
且b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）證明：c_n=$\frac{{{{log}_2}{b_{n+2}}}}{b_n}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n+1}}{{2}^{n-1}}$=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
可得T_n=2•1+3•$\frac{1}{2}$+4•（$\frac{1}{2}$）²+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+4•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=2+[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=2+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
則T_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$＜6成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．