Question

5．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，焦距等于短軸長，設不過原點的直線l與橢圓C交于M、N兩點，滿足直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C過點（2，0），求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓的方程，由題意可知b=c，可求得a=$\sqrt{2}$c，利用離心率公式求得e的值；
（2）由題意可知a=2，即可求得橢圓的方程，設出C和D點坐標及直線方程，代入橢圓方程，消去y得到關于x的二次方程，利用韋達定理得到關于兩個交點的坐標的關系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值．

解答 解：（1）焦點在x軸上，橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由焦距等于短軸長，即b=c，
a²=b²+c²，a=$\sqrt{2}$c，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）橢圓C過點（2，0），a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線方程為：y=kx+t，t≠0，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4ktx+2t²-4=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4kt}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{t}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
滿足直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，由等比中項可知：
k²=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，整理得（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂，
∴k（x₁+x₂）+t=0，
∴$\frac{-4{k}^{2}t}{2{k}^{2}+1}$+t=0，解得k²=$\frac{1}{2}$，
直線l的斜率±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查求得圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關系問題，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．