Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若m=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，（t-x）f′（x）＜x+1恒成立，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求整數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，對(duì)m進(jìn)行分類討論，確定x在不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，①，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的最大整數(shù)值即可．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-mx，x∈R，得f'（x）=e^x-m，
①當(dāng)m≤0時(shí)，則f'（x）=e^x-m＞0對(duì)x∈R恒成立，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；                           
②當(dāng)m＞0時(shí)，
由f'（x）=e^x-m＞0，得到x＞lnm，
所以，m＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lnm，+∞）；
綜上，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lnm，+∞）；
（2）m=1時(shí)，（t-x）（e^x-1）＜x+1，
x＞0時(shí)，e^x-1＞0，故t＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，①，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，（x＞0），則g′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-2）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
令h（x）=e^x-x-2，則h′（x）=e^x-1＞0，（x＞0），
函數(shù)h（x）在（0，+∞）遞增，
而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)，
即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)，
設(shè)此零點(diǎn)是x₀，則x₀∈（1，2），
x∈（0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，x∈（x₀，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x₀），
由g′（x₀）=0得：${e}^{{x}_{0}}$=x₀+2，
∴g（x₀）=x₀+1∈（2，3），
由于①式等價(jià)于t＜g（x₀），
故整數(shù)t的最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的由于以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．