Question

4．已知函數(shù)f（x）=（x²-x-$\frac{1}{a}$）e^ax（a≠0）．
（Ⅰ）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞0時，若f（x）+$\frac{2}{a}$≥0對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x），令f（x）=0，解出即可；
（Ⅱ）先求出f′（x）=0的值，討論a的范圍，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性從而求出f（x）的最小值，使[f（x）+$\frac{2}{a}$]_min≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=（x²-x-2）${e}^{\frac{x}{2}}$，
令f（x）=0，即x²-x-2=0，解得：x=-1或x=2；
（Ⅱ）f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1），
令f′（x）=0則x=1或-$\frac{2}{a}$，
①當a＜-2時，-$\frac{2}{a}$＜1，
f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{2}{a}$，1）上單調(diào)遞增；
②當a=-2時，-$\frac{2}{a}$=1，
f′（x）≤0，f（x）在R上減函數(shù)；
③當-2＜a＜0時，-$\frac{2}{a}$=1，
f（x）在（-∞，1）和（-$\frac{2}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，-$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞增；
④a＞0時，-$\frac{2}{a}$＜1，f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{2}{a}$，1）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ））由（Ⅱ）得：a＞0時，
f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{2}{a}$，1）上單調(diào)遞增；
x→-∞時，f（x）→0，∴f（1）=-$\frac{1}{a}$e^a為最小值，
∴-$\frac{1}{a}$e^a+$\frac{2}{a}$≥0對x∈R恒成立，解得：a∈（0，ln2]．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查計算能力和分析問題的能力．