Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）由題意可得|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值，而$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，故x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根據(jù)數(shù)軸上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，可得不等式的解集．

解答 解：（1）x≥2，f（x）≥1；
1＜x＜2，f（x）=1；
x≤1，f（x）=3-2x≥1，
∴函數(shù)y=f（x）的最小值為1；
（2）解：由題知，|x-1|+|x-2|≤$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于 $\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng) （a+b）（a-b）≥0 時取等號，
∴$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，
∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
又由于數(shù)軸上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，
故不等式的解集為[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，判斷|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，是解題的關(guān)鍵．